วิธีการคำนวณความเร็วทันที

ความเร็วหมายถึงความเร็วของวัตถุในทิศทางที่กำหนด ในสถานการณ์ทั่วไปหลายอย่างในการหาความเร็วเราใช้สมการ v = s / t โดยที่ v เท่ากับความเร็ว s เท่ากับการกระจัดทั้งหมดจากตำแหน่งเริ่มต้นของวัตถุและ t เท่ากับเวลาที่ผ่านไป อย่างไรก็ตามในทางเทคนิคแล้วสิ่งนี้จะให้วัตถุเท่านั้น เฉลี่ย ความเร็วเหนือเส้นทางของมัน การใช้แคลคูลัสสามารถคำนวณความเร็วของวัตถุได้ตลอดเวลาตามเส้นทางของมัน นี้เรียกว่า ความเร็วทันที และมันถูกกำหนดโดยสมการ v = (ds) / (dt) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งอนุพันธ์ของวัตถุความเร็วเฉลี่ยสมการ

ขั้นตอน

ส่วน หนึ่ง จาก 3: การคำนวณความเร็วทันที

1. หนึ่ง เริ่มต้นด้วยสมการของความเร็วในแง่ของการกระจัด เพื่อให้ได้ความเร็วทันทีของวัตถุอันดับแรกเราต้องมีสมการที่บอกตำแหน่งของมัน (ในแง่ของการกระจัด) ณ ช่วงเวลาหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าสมการต้องมีตัวแปร เอส อยู่ข้างเดียวและ t ในอีกด้านหนึ่ง (แต่ไม่จำเป็นต้องทำด้วยตัวเอง) เช่นนี้:
   

   s = -1.5t²+ 10 ครั้ง + 4

   ดูการออกจากเนเวอร์แลนด์ออนไลน์ฟรี

   • ในสมการนี้ตัวแปรคือ:

     แทนที่ = s . ระยะทางที่วัตถุเดินทางจากตำแหน่งเริ่มต้น ตัวอย่างเช่นถ้าวัตถุไปข้างหน้า 10 เมตรและถอยหลัง 7 เมตรการกระจัดรวมของมันคือ 10 - 7 = 3 เมตร (ไม่ใช่ 10 + 7 = 17 เมตร)

     เวลา = t . อธิบายตนเอง โดยทั่วไปจะวัดเป็นวินาที

2. 2 หาอนุพันธ์ของสมการ อนุพันธ์ของสมการเป็นเพียงสมการที่แตกต่างกันที่บอกความชันของมัน ณ จุดใดเวลาหนึ่ง ในการหาอนุพันธ์ของสูตรการกระจัดของคุณให้แยกความแตกต่างของฟังก์ชันด้วยกฎทั่วไปสำหรับการค้นหาอนุพันธ์: ถ้า y = a * xⁿ, อนุพันธ์ = a * n * x^n-1 กฎนี้ใช้กับทุก ๆ คำที่อยู่ด้าน 't' ของสมการ
   • กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเริ่มต้นด้วยการผ่านด้าน 't' ของสมการจากซ้ายไปขวา ทุกครั้งที่คุณไปถึง 't' ให้ลบ 1 ออกจากเลขชี้กำลังแล้วคูณทั้งเทอมด้วยเลขชี้กำลังเดิม เงื่อนไขคงที่ (คำศัพท์ที่ไม่มี 't') จะหายไปเพราะคูณด้วย 0 กระบวนการนี้ไม่ได้ยากอย่างที่คิด - ลองหาสมการในขั้นตอนด้านบนเป็นตัวอย่าง:
     

     s = -1.5t²+ 10 ครั้ง + 4
     (2) -1.5t^(2-1)+ (1) 10 ครั้ง^{สิบเอ็ด}+ (0) 4p⁰
     -3т^{หนึ่ง}+ 10t⁰
     -3t + 10

     
     
     

3. 3 แทนที่ 's' ด้วย 'ds / dt. 'เพื่อแสดงว่าสมการใหม่ของเราเป็นอนุพันธ์ของสมการแรกเราแทนที่' s 'ด้วยสัญกรณ์' ds / dt ' ในทางเทคนิคสัญกรณ์นี้หมายถึง 'อนุพันธ์ของ s เทียบกับ t' วิธีคิดที่ง่ายกว่านี้คือ ds / dt เป็นเพียงความชันของจุดใดก็ได้ในสมการแรก ตัวอย่างเช่นหาความชันของเส้นที่สร้างโดย s = -1.5t²+ 10t + 4 ที่ t = 5 เราก็แค่เสียบ '5' เข้ากับ t ในอนุพันธ์ของมัน
   • ในตัวอย่างการรันของเราตอนนี้สมการสำเร็จรูปของเราควรมีลักษณะดังนี้
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 4 แทนค่า t สำหรับสมการใหม่ของคุณเพื่อหาความเร็วทันที ตอนนี้คุณมีสมการอนุพันธ์ของคุณแล้วการหาความเร็วทันที ณ ช่วงเวลาใดก็ได้เป็นเรื่องง่าย สิ่งที่คุณต้องทำคือเลือกค่า t แล้วเสียบเข้ากับสมการอนุพันธ์ของคุณ ตัวอย่างเช่นถ้าเราต้องการหาความเร็วทันทีที่ t = 5 เราก็แค่แทน '5' สำหรับ t ในอนุพันธ์ ds / dt = -3 + 10 จากนั้นเราก็แก้สมการดังนี้
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 เมตร / วินาที

   • โปรดทราบว่าเราใช้ป้ายกำกับ 'เมตร / วินาที' ด้านบน เนื่องจากเรากำลังจัดการกับการกระจัดในรูปของเมตรและเวลาในรูปของวินาทีและความเร็วโดยทั่วไปเป็นเพียงการกระจัดเมื่อเวลาผ่านไปป้ายกำกับนี้จึงเหมาะสม
   โฆษณา

ส่วน 2 จาก 3: การประมาณความเร็วทันทีแบบกราฟิก

1. หนึ่ง สร้างกราฟการกระจัดของวัตถุเมื่อเวลาผ่านไป ในส่วนข้างต้นเราได้กล่าวถึงอนุพันธ์เป็นเพียงสูตรที่ให้เราค้นหาความชัน ณ จุดใดก็ได้ของสมการที่คุณหาอนุพันธ์มา ในความเป็นจริงถ้าคุณแสดงการกระจัดของวัตถุด้วยเส้นบนกราฟ ความชันของเส้นตรงจุดใดก็ตามจะเท่ากับความเร็วทันทีของวัตถุ ณ จุดนั้น
   • ในการสร้างกราฟการกระจัดของวัตถุให้ใช้แกน x แทนเวลาและแกน y เพื่อแทนการกระจัด จากนั้นเพียงพล็อตจุดโดยการใส่ค่า t ลงในสมการการกระจัดของคุณรับค่า s สำหรับคำตอบของคุณและทำเครื่องหมายจุด t, s (x, y) บนกราฟ
   • โปรดทราบว่ากราฟสามารถขยายด้านล่างแกน x ได้ หากเส้นที่แสดงถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุของคุณลดลงต่ำกว่าแกน x แสดงว่าวัตถุของคุณเคลื่อนที่ไปด้านหลังจุดเริ่มต้น โดยทั่วไปกราฟของคุณจะไม่ขยายไปด้านหลังแกน y - เรามักจะไม่วัดความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่ย้อนเวลา!
2. 2 เลือกจุด P หนึ่งจุดและจุด Q ที่อยู่ใกล้จุดนั้นบนเส้น ในการหาความชันของเส้นตรงจุด P จุดเดียวเราใช้กลอุบายที่เรียกว่า 'การ จำกัด ' การหาขีด จำกัด เกี่ยวข้องกับการรับสองจุด (P บวก Q จุดที่อยู่ใกล้จุดนั้น) บนเส้นโค้งและการหาความชันของเส้นที่เชื่อมโยงพวกเขาซ้ำแล้วซ้ำเล่าเมื่อระยะห่างระหว่าง P และ Q น้อยลง
   • สมมติว่าเส้นการเคลื่อนที่ของเรามีจุด (1,3) และ (4,7) ในกรณีนี้ถ้าเราต้องการหาความชันที่ (1,3) เราสามารถตั้งค่าได้ (1,3) = หน้า และ (4.7) = ค .
3. 3 ค้นหาความชันระหว่าง P และ Q ความชันระหว่าง P และ Q คือความแตกต่างของค่า y สำหรับ P และ Q มากกว่าความแตกต่างของค่า x สำหรับ P และ Q กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ H = (และ_ถาม- ย_ป) / (x_ถาม- x_ป) โดยที่ H คือความชันระหว่างจุดทั้งสอง ในตัวอย่างของเราความชันระหว่าง P และ Q คือ:
   

   H = (และ_ถาม- ย_ป) / (x_ถาม- x_ป)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1.33

   
   
   

   ตำแหน่งอิเล็กโทรดข้อศอกเทนนิส

4. 4 ทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งโดยเลื่อน Q เข้าใกล้ P เป้าหมายของคุณในที่นี้คือทำให้ระยะห่างระหว่าง P และ Q เล็กลงเรื่อย ๆ จนกระทั่งเข้าใกล้จุดเดียว ยิ่งระยะห่างระหว่าง P และ Q น้อยลงเท่าใดความชันของส่วนเส้นเล็ก ๆ ของคุณก็จะยิ่งใกล้กับความชันที่จุด P ลองทำเช่นนี้สักสองสามครั้งสำหรับสมการตัวอย่างของเราโดยใช้จุด (2,4.8), (1.5 , 3.95) และ (1.25,3.49) สำหรับ Q และจุดเดิมของ (1,3) สำหรับ P:
   

   Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1.8) / (1) = 1.8
   
   Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
   H = (.95) / (. 5) = 1.9
   
   Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
   H = (.49) / (. 25) = 1.96

5. 5 ประมาณความชันสำหรับช่วงเวลาเล็ก ๆ น้อย ๆ บนเส้น เมื่อ Q เข้าใกล้ P มากขึ้นเรื่อย ๆ H จะเข้าใกล้ความชันที่จุด P มากขึ้นเรื่อย ๆ ในที่สุดในช่วงเวลาเล็ก ๆ น้อย ๆ H จะเท่ากับความชันที่ P เนื่องจากเราไม่สามารถวัดหรือคำนวณได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ช่วงเล็ก ๆ เราแค่ประมาณความชันที่ P เมื่อมันชัดเจนจากจุดที่เราพยายาม
   • ในตัวอย่างของเราเมื่อเราย้าย Q เข้าใกล้ P เราจะได้ค่า 1.8, 1.9 และ 1.96 สำหรับ H เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้ดูเหมือนจะเข้าใกล้ 2 เราจึงสามารถพูดได้ว่า 2 เป็นค่าประมาณที่ดีสำหรับความชันที่ P
   • โปรดจำไว้ว่าความชัน ณ จุดหนึ่งบนเส้นเท่ากับอนุพันธ์ของสมการของเส้นตรงจุดนั้น เนื่องจากเส้นของเราแสดงการกระจัดของวัตถุเมื่อเวลาผ่านไปและดังที่เราเห็นในส่วนด้านบนความเร็วในทันทีของวัตถุคืออนุพันธ์ของการกระจัด ณ จุดหนึ่งเราจึงสามารถพูดได้ว่า 2 เมตร / วินาที เป็นการประมาณที่ดีสำหรับความเร็วทันทีที่ t = 1
   โฆษณา

ส่วน 3 จาก 3: ปัญหาตัวอย่าง

1. หนึ่ง หาความเร็วทันทีที่ t = 4 ตามสมการการกระจัด s = 5t³- 3 ที²+ 2 ครั้ง + 9 นี่ก็เหมือนกับตัวอย่างของเราในส่วนแรกยกเว้นว่าเรากำลังจัดการกับสมการกำลังสองแทนที่จะเป็นสมการกำลังสองดังนั้นเราจึงสามารถแก้ได้ด้วยวิธีเดียวกัน
   • อันดับแรกเราจะหาอนุพันธ์ของสมการของเรา:
     

     s = 5t³- 3 ที²+ 2 ครั้ง + 9
     s = (3) 5t^{(3 - 1)}- (2) 3p^{(ยี่สิบเอ็ด)}+ (1) 2 ครั้ง^{(1 - 1) + (0) 9 ท0 - 1
     15 ครั้ง(2)- 6 ต(หนึ่ง)+ 2 ครั้ง(0)
     15 ครั้ง(2)- 6 ครั้ง + 2}

   • จากนั้นเราจะใส่ค่าของเราสำหรับ t (4):
     

     s = 15t⁽²⁾- 6 ครั้ง + 2
     15 (4)⁽²⁾- 6 (4) + 2
     15 (16) - 6 (4) + 2
     240 - 24 + 2 = 218 เมตร / วินาที

     
     
     

2. 2 ใช้การประมาณแบบกราฟิกเพื่อหาความเร็วทันทีที่ (1,3) สำหรับสมการการกระจัด s = 4t²- ท. สำหรับปัญหานี้เราจะใช้ (1,3) เป็นจุด P ของเรา แต่เราจะต้องหาจุดอื่น ๆ ใกล้ ๆ เพื่อใช้เป็นคะแนน Q ของเรา จากนั้นก็เป็นเพียงเรื่องของการหาค่า H ของเราและทำการประมาณค่า
   • ก่อนอื่นให้หาจุด Q ที่ t = 2, 1.5, 1.1 และ 1.01
     

     s = 4t²- ท
     
     เสื้อ = 2: s = 4 (2)²- (สอง)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14 ดังนั้น Q = (2,14)
     
     เสื้อ = 1.5: s = 4 (1.5)²- (1.5)
     4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5 ดังนั้น Q = (1.5,7.5)
     
     เสื้อ = 1.1: s = 4 (1.1)²- (1.1)
     4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74 ดังนั้น Q = (1.1,3.74)
     
     เสื้อ = 1.01: s = 4 (1.01)²- (1.01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704 ดังนั้น Q = (1.01,3.0704)

   • ต่อไปมารับค่า H ของเรา:
     

     Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = สิบเอ็ด
     
     Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
     H = (4.5) / (. 5) = 9
     
     Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
     H = (.74) / (. 1) = 7.3
     
     Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (.0704) / (. 01) = 7.04

   • เนื่องจากค่า H ของเราดูเหมือนจะเข้าใกล้ 7 มากเราจึงพูดได้ว่า 7 เมตร / วินาที เป็นการประมาณที่ดีสำหรับความเร็วทันทีที่ (1,3)
   โฆษณา

ถาม - ตอบชุมชน

ค้นหา เพิ่มคำถามใหม่

• คำถามอะไรคือความแตกต่างระหว่างความเร็วทันทีและความเร็วเฉลี่ย? ทันทีคือขณะนั้นในขณะที่ค่าเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยของช่วงเวลาทั้งหมด
• คำถามฉันจะคำนวณความเร่งด่วนได้อย่างไร? ความเร่งทันทีถือได้ว่าเป็นค่าของอนุพันธ์ของความเร็วทันที ตัวอย่างเช่น: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 หากเราต้องการทราบความเร่งทันทีที่ t = 4 แล้ว a (4) = 30 * 4 - 6 = 114 m / (s ^ 2)
• คำถามเมื่อใดที่ความเร็วทันทีและความเร็วเฉลี่ยเท่ากัน? ความเร็วชั่วขณะบอกคุณถึงความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาเดียว ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ความเร็วเฉลี่ยและความเร็วทันทีจะเท่ากัน ในทุกสถานการณ์ไม่น่าจะเหมือนกัน

คำถามที่ยังไม่มีคำตอบ

• ฉันจะหาศูนย์ความเร็วระหว่างสองครั้งได้อย่างไร ตอบ
• ฉันจะหาศูนย์ความเร็วระหว่างสองครั้งได้อย่างไร ตอบ
• ฉันจะคำนวณ 5t + 12t ^ 2 ได้อย่างไร ตอบ

ถามคำถามเหลือ 200 อักขระรวมที่อยู่อีเมลของคุณเพื่อรับข้อความเมื่อคำถามนี้ได้รับคำตอบ ส่ง
โฆษณา

วิดีโอ . การใช้บริการนี้อาจมีการแบ่งปันข้อมูลบางอย่างกับ YouTube

เคล็ดลับ

• ในการค้นหาความเร่ง (การเปลี่ยนแปลงของความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป) ให้ใช้วิธีการในส่วนที่หนึ่งเพื่อรับสมการอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันการกระจัดของคุณ จากนั้นหาอนุพันธ์อื่นคราวนี้ของสมการอนุพันธ์ของคุณ สิ่งนี้จะทำให้คุณได้สมการสำหรับการค้นหาความเร่งในเวลาที่กำหนดสิ่งที่คุณต้องทำคือใส่ค่าของคุณสำหรับเวลา
• สมการที่เกี่ยวข้องกับ Y (การกระจัด) กับ X (เวลา) อาจจะง่ายมากเช่น Y = 6x + 3 ในกรณีนี้ความชันจะคงที่และไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์เพื่อหาความชัน ซึ่งเป็นไปตามแบบจำลองพื้นฐาน Y = mx + b สำหรับกราฟเชิงเส้น 6.
• การกระจัดก็เหมือนกับระยะทาง แต่มีทิศทางที่กำหนดทำให้การกระจัดเป็นเวกเตอร์และความเร็วสเกลาร์ การกระจัดสามารถเป็นลบได้ในขณะที่ระยะทางจะเป็นบวกเท่านั้น

การโฆษณาส่งเคล็ดลับการส่งเคล็ดลับทั้งหมดจะได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบก่อนที่จะเผยแพร่ขอขอบคุณที่ส่งเคล็ดลับเพื่อตรวจสอบ!